楼主:
khara (高阳酒徒)
2017-04-09 21:48:06※ 引述《LBJ23 (Lebron James 23)》之铭言：
: ※ 引述《nnnn (嗯~嗯~嗯~嗯~~~)》之铭言：
: : 令 x=0.999999......
: : 10x=9.99999.....
: : 10x-x=9 (上两式相减)
: : x=1
: 这个证明有个很大的Bug
: _ _
: 9.9 - 0.9 = 9
: 你是怎么得来的
: 小数点后面都是"无限多"个9
: 但是无限多 - 无限多 = 0 吗???
: 无限多 - 无限多 = 还是无限多吧
挖这一串才发现前面有一位觉得数学系极限害苦学生的板友。
呃，我的感受恰好相反。
正是因为一堆一知半解的理工人，
不懂历史脉络，不懂文化意义，
拿着死背硬记的解题法拿着一堆生硬的定义来教学生，
才真的害苦了学生 —— 至少害苦了当年的我。
无穷小的问题不是个简单的问题。
应该说，整个涉及极限、无穷程序、无穷大无穷小的问题，
概念都不简单。
所以古希腊人会卡在那卡了许久。
所以就连微积分的创建者之一，牛顿，
在回答柏克莱主教对流数的质疑时也拿不出很好的理据。
（google关键词：Berkeley infinitesimal，或简单参看后文 *）
牛顿最后只能硬抝说他这套计算用在天文物理上很有用……
可是很有用归很有用，他就是逻辑上很诡异啊！
（注意这才是真正西方数学文化的精髓：是对逻辑的完美苛求，
而不是有用就好这种想法。）
也因此才会有后来一堆人绞尽脑汁去帮牛顿擦屁股，
最后在一堆数学宅的引领下才发展出今天所谓的 ε – δ 式定义。
这个定义很复杂，许多初学者往往觉得难以入门。
（也因此有人走起回头路想抓回牛顿的无穷小去）
可是至少这个定义在概念上清楚地解决了好些难点。
如果不走这个定义，光空口说白话在那唬一堆无穷小无穷大啥的，
我才真觉得会搞死一堆钻牛角尖既觉得那没道理又讲不出口的学生。
初等教学往往会面临这些两难：
某类的学生很会算但不会去质疑，
某类的学生则一旦质疑就卡死在那走不出去了。
理想上是希望学生能理解，可是又怕太难理解，
结果就硬把一堆其实说不通甚至早遭先哲质疑过的诡辩塞给学生，
希望学生去硬算。
甚至教师自己都不了解这些定义的脉络而只认定不该教学生定义！
（如果是我，碰上这种教师真的会连算都算不下去。
至少在接触代数体系建构、体扩张之前，
资质驽钝的我曾经重走了古人抗拒接受复数的老路：
愈是自以为直觉的讲解反而愈让我觉得毫无道理可言。）
数学本身也是文化的一环。
而很会算的人未必很能教，
数学或甚至物理直觉很强的人也未必能在逻辑上理清各个问题。
但是，对逻辑完美的执著，确实是数学文化的一环。
（即便在今天许多东西都已被证明为难以达成的情况下）
很多问题是值得讨论的，
只是讨论也还是在特定典范（paradigm）意义下讨论好些吧？
*.关于柏克莱主教批评牛顿无穷小算流数的简介（例示非原文）
简单举例，照牛顿的说法，为何 (x^2)’ = 2x ？
即，如果时间 x 时某物的距离是 x^2，怎算瞬时速度？
考虑 x 增加了很小的增量 o，则
距离差 / 时间差 = 速度
即， (x + o)^ 2 – x^2
—————————— = v
(x + o) – x
因为 (x + o)^ 2 – x^2
——————————
(x + o) – x
x^2 + 2 x o + o^2 – x^2
= ——————————————
o
2 x o + o^2
= ——————————————
o
= 2x + o （上下消去 o）
又因为 o 太小了，小到可忽略，所以速度就是 2x。
这时候柏克莱就质疑他了：
你那个很小的增量到底是不是 0？
如果不是 0，怎么可以在最后随意说他可以忽略？
如果是 0，你前面除法怎么可以把他消去？
2 * 0 = 3 * 0 ，这个算式里难道 0 可以消去吗？
所以牛顿的这个无穷小量 o 难道是个幽灵（ghost），
高兴出现的时候就出现，想消失的时候就消失？
就因为有这个质疑，
无穷小量的论证虽说计算上很有效
（其实某种意义上在高等数学上说得通，但论述更复杂）
可是道理上却难以服人。
也因此，后来才有柯西等人发展出极限的ε – δ 式定义。
最后引一段我很喜欢的荣格回忆录里的文字。
我一直觉得，初等数学教学其实陷阱重重，
教师如果不是在哲学或高等数学上有很深的造诣，
未必能良好地引领学生 —— 可是偏偏造诣佳的未必会去从事初等教学！
Am meisten empörte mich der Grundsatz: wenn a=b und b=c, dann ist a=c, wo
es doch per definitionem feststand, daß a etwas anderes bezeichnete als b
und daher als etwas anderes nicht mit b gleichzusetzen war, geschweige denn
mit c. Wenn es sich um eine Gleichsetzung handelt, dann heißt sie a = a,
b = b usw., während a = b mir direkt als Lüge oder Betrug vorkam.
（最令我恼怒的是这一定理：如果a＝b而b＝c，那么a＝c，虽然根据定义a与b的意思完
全是两回事，既然不同，a因而也就不能与b相等，更不用说与c相等了。每当是一个等
式的问题的时候，那么就说a＝a，b＝b，等等好了。而a＝b在我看来却完全是个谎言
或者骗局。）
（什么是“等于”本身也是个大哉问！）