大魔法师肥宅 周末没人约 只好来发发废文
1. 如果要证明这个级数和存在是相当简单的问题。
有个定理是说:
如果一个数列递增有上界 则极限存在。(其实这定理跟实数稠密性等价)
利用这个定理，令
a_n=1+1/4+1/9+...+1/n^2
当n递增时，则这数列显然递增。
显然这数列有个上界 a_n<1+1/2+1/6+....+1/(n-1)n<2 后面的等式用分项向对消法
因此极限存在。
因此下个问题自然是问说这极限到底是多少?
推文提到了几个方法，通常工数教的就是傅立叶分析，但是并不是很"直观"的
解决这问题。当然这问题要算极限有很多办法。
在历史的角度这问题在白努力的手中没有解决
后来是Euler把这问题解决的 是他身为数学家的成名作之一。
他的想法相当单纯且巧妙。概述如下:
基本上他的idea是从大家学过一个简单的事实
考虑一个二次多项式叫做f(x)则如果知道他的两个根叫做a,b
则会存在一个常数c使得 f(x)=c(x-a)(x-b)
同理n次多项式如果有n个根，也会有类似个结果。
*如果把这个简单的想法 推广到无穷多项式"Power series"如果可以成立*
这个观点就是解决这问题的关键。
Euler的观察:
sin x=x+x^3/3!+x^5/5!...... <== sin x在0点的泰勒展开式
然后我们又知道
sin x有零根在0,±π,±2π,...,±nπ , 对所有的正整数n
因此利用刚刚提的想法想法，应该存在一个常数c使得
x+x^3/3!+x^5/5!......=sin x
=c*[x*(1-x/π)(1+x/π)(1-x/(2π))(1+x/(2π))..(1-x/(nπ))(1+x/(nπ))..]
假想把那个无穷乘积展开，由x的一次项可知右边的系数是c
因此比较可以得到c=1
更近一步观察x^3系数，可以看出来无穷乘积的系数是:
1/π^2+1/4π^2+.....+1/n^2π^2+..=(1+1/4+1/9+...1/n^2+..)*π^(-2)
但是另一边泰勒展式给x^3的系数是1/3!=1/6
因此可以得到:(1+1/4+1/9+...1/n^2+..)*π^(-2)=1/6。
所以整个证明其实关键就在"Power sereis"是不是可以有多项式的定理。
那这件事在这情况是对的，虽然Euler也不知道为什么对。但是
他天才般的直觉让他解决这问题。
至于这个事实之所以正确是需要复变量函数论 也就是 Weierstrass的工作，
很少大学部数学系会教到这个定理有点可惜。
这些无穷级数和应该都是有意义的 只是人类都还没有弄清楚。
比方说跟K group的关系等 我也只是路过的时候 听人说说而已。
另一个复变的做法 就是考虑大家最爱讨论的zeta function
然后想办法用留数定理去算s=2的取值。ㄎㄎ
※ 引述《tkc7 (至情至性)》之铭言：
: 各位理组肥宅安安
: 小弟废物文组鲁蛇
: 什么数列级数的通通用不到
: 记得之前看过
: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 会发散
: 因为可以拆成无限多的1/2相加
: 会发散是可以理解的
: 但我就不懂为什么
: 1+1/4+1/9+1/16+...+1/n^2+...
: 不但会收敛
: 而且还收敛到π^2/6
: 竟然出现了π^2这神奇的数字
: 完全不知道从何而来
: 有没有理组的大大能解释这当中的八卦
※ 引述《tkc7 (至情至性)》之铭言：
: 各位理组肥宅安安
: 小弟废物文组鲁蛇
: 什么数列级数的通通用不到
: 记得之前看过
: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 会发散
: 因为可以拆成无限多的1/2相加
: 会发散是可以理解的
: 但我就不懂为什么
: 1+1/4+1/9+1/16+...+1/n^2+...
: 不但会收敛
: 而且还收敛到π^2/6
: 竟然出现了π^2这神奇的数字
: 完全不知道从何而来
: 有没有理组的大大能解释这当中的八卦