※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之铭言：
: 所以再讲一次 与其说0.999....=1 不如更了当的说 0.9999..定义成1
: 本来不是一个数字 但我们把它定义成 0.9+0.09+0.009+...所趋近于的那个值 也就是1.
看了半天只有这篇回答得最好。
贴一个我的旧文来。
要理解 0.9999...... 这问题之前，
请先想想你觉得什么是实数吧。
什么是实数？
如果很粗率地说，
你用你的脚掌去量距离（先撇除一些太复杂的问题）。
为什么用脚掌？
因为你是迷信科学教的信徒你只相信自身经验不相信满天鬼神。
所以你得用身体或身边器具亲自去量。
你发现，
喔，从你家楼下到隔壁那个正妹的家的楼下，
刚好是50个脚掌的距离。
太好了你记录下一个 50。
你发现从你家楼下到附近那个手摇饮料店，
刚好是300个脚掌的距离。
太好了你记录下一个300。
可是你觉得你这样量似乎太粗率。
你发现你的手机似乎有半个脚掌大小，可是还多了一些。
那到底它有几个脚掌大？
好像比起半个他又多出不到四分之一个，
其实也比八分之一小一些……
就这样你用了一次切一半的方法一直量下去。
但你真的相信这样量下去有个终点吗？
再换个东西好了。
你用你的脚掌画出长度后，
你拿这长度画了个正方形。
这时候你发现这个正方形的斜对角线的长度很怪。
（熟悉的朋友当然知道我想讲的是√2）
他似乎大约有一个半脚掌，可是不到一个半。
你发现他似乎是
一个脚掌 + 四分之一个脚掌 + 八分之一个脚掌 + 三十二分之一个脚掌 + ？
每次切一半，你觉得这种测量会有尽头吗？
如果没有尽头，
你真的相信有这种数字存在吗？
或许你觉得，切一半这种方式大概不佳。
可能切成三分之一，或五分之一，或一三八一分之一？
也许总有一种切法可以在测量时走到个终点，得个干净整数比例？
因为经验上你发现脚掌的三分之一没办法用切一半的方式量尽，
可是把他当一次切三分就直接了当了嘛！
可是结果是，上述测量正方形斜边，
没有任何一种切法能恰当把他量干净。
还不只正方形斜边。
你用脚掌大小的木棒画出的圆，圆周也难以量干净。
甚至当你发现当初你测量某些距离量得太粗率，
想要量精细一点时，都会发现似乎好些距离都没办法量出很干净的数。
（背后的证明先不论了。假设你天资超好已经亲自证明过这几大难题。）
这种情况下，
你真的能相信那个没有终点的数存在吗？
如果他存在，他到底是个什么数？
难道只能叫做无以名状？
好吧也许某些特殊的常用数你可以给个名字，什么√2还π的，
但你发现每天的测量生活里遇到太多这种怪物了，
对于有精确洁癖的你，
太多这种无以名状不知所谓的奇怪距离了！
怎么办？
假设你有着精确洁癖，
你不能接受
“我家楼下到隔壁门口大约50又16/113个脚掌”这种话，
那么你的测量生活就充满困扰了。
有没有妥协之道？
难道精确测量的精神真得放弃？
解决的方法有一种，
就是把事情没做完没关系，推给明天就好了。
正方形斜边？
反正他就是一种测量程序，
大概是一个脚掌，啊又多出4/10个，又多出1/100个，又多出4/1000个，
反正你相信这样测量可以达到“想要多精确就有多精确”就好了啊！
于是你承认了某些测量程序基本上可以“逼近某个数”。
但是问题又来了。
其实有时候同一个终点似乎可以经过不同的测量程序到达呢！
例如吧，我们上面曾经说过，你用一次切一半的方法量正方形斜边，
你发现他似乎是
1脚掌 + 1/4个脚掌 + 1/8个脚掌 + 1/32个脚掌 + 1/128个脚掌 + ……
这种测量法跟上述每次切十分之一，所达到的终点有没有不同？
直觉上应该要一样啊？
可是谁跟你说他会一样？
你不觉得两种测量法，每次都不太一样长吗？
所以咧？
难道换个测量法，得到的答案会不同？
这时候你会发现，
上述问题还是有办法解决。
因为这两种测量法都是“好的”测量法，
他们每次测量彼此间虽有差异，可是那差异是愈来愈小，
最后似乎会小到微不足道。
什么是微不足道？你不是精确狂人吗怎能容忍微不足道这种话？
这，已经没办法了，只能当作妥协的终点了。
不要担心你内心永不妥协的坚持，
古希腊多少贤哲就差这一步就没走向微积分。
可是算了，放弃阿波罗精神，向浮士德投降吧（Ostwald Spengler）。
你现在接受了
“只要某两个测量程序彼此差距愈来愈小，小到最后微不足道，
这两个测量程序就相等。”
那么，上述两种测量程序就算相等吧。
（当然这里又有个问题是，什么是相等？
也许对你来说你不喜欢狗所以每只狗都相等都是讨厌的家伙，都相等，
可是对我这爱狗人士来说，每只狗都有个性都不等。
反正这里不扯太多，简单讲就是你把一堆程序都划入同一终点就是。）
这也就回到所谓
0.999999999…… = 1
的问题。
诉诸直觉好像有点怪：
0.999999999…… 不是就跟 1 差那一点点吗？
但如果我们知道所谓 0.999999999……
只是指这样一个无穷程序：
虽说你本来不确定那个点到底是不是1（也许眼睛有点花），
但当你每次以10为单位细分你的刻度时，
都会发现他确定比第9单位还多，
那么我们只能说这个点和1的距离“可以任意小”，
这样的测量程序，
我们不得不说这个点根本就是1了。
（以这个程序最后收敛的终点来说的）
其实所谓循环小数也就是这样的测量程序，
直觉意义常体现在不同进位法的情况下：
三进位的 0.1 在十进制标尺下只好是 0.333333……。
就仿佛本来天然一个三分之一，
换成十进制标尺就会发现每次测量都比第三格多一点。
我中学时一直对循环小数感到疑惑：
为什么随便这样写就可以说有这种数？
当时虽不知“存在性”这术语，
心中的怀疑确实与存在性有关。
一直到了解 Cauchy seq 的概念，才算对他更确定了点。
（试想若非小数点， 111111…… = Σ10 ^ n 就不能说存在。）
0.999999999…… = 1 这问题也不是只发生在十进制上。
如果你采二进制，
你会发现
0.111111111…… = 1
（上述 0.111111…… 意思是指二进制的，
就是Σ(1/2) ^ n ）
意思也是：
每次都比半格多，
这种程序的“终点”和 1 的距离也是“要多小就有多小”，
也就是“收敛到1”，
当作一个“数”时我们就说他等于1啦。
注意到不是每个测量程序都是好的程序。
上面我对坏的程序只讲了 11111...... 这个无终点的无限大。
再举一个。
假如你正在测量某神人拉斯普丁的某部位（一个能抵两个吃！），
你发现：
第一次量，他比 1 个脚掌长些，
第二次量，他比 1 个脚掌还多出 1/2 个还多些，
第三次量，除了前面的，他还多出 1/3 个还多些，
第四次发现他多出 1/4 个还多些，
第五次发现他多出 1/5 个还多些……
（因为他似乎偷偷变长了？）
结果你发现这位神人……
真是仰之弥高，钻之弥坚！
他的长度是根本测量不完啊！
所以你只能放弃这个程序，这不是个好程序。
换成数学语言，
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ......
不是个收敛的数列，你难以给他指定个确定的终点。
这类坏的测量程序还不少。
简单说，不是你随便乱写一个累次加法就能确定有终点的。
不过无穷小数倒还好，
他保证有终点，
但不要以为这种测量就是绝对唯一就是。