※ 引述《momoispig (momo不是猪)》之铭言：
: 如题
: 小妹发现
: >1的数字 不管多大
: 开很多次根号后
: 都会变成1
: 不信
: 去按计算机就知道
: 我这样算是数学天才吗 有没有八卦
开根号 就是^1/2的意思
也就是 你说 不管多大的数字 不断的^1/2 最后会等于1
((x^1/2)^1/2).......=1
写成好理解一点的
设一数列 a1=x
a2=(a1)^1/2
a3=(a2)^1/2=((a1)^1/2)^1/2
an=(an-1)^1/2
所以an就是你说的 “开很多次根号之后”
若把很多次视为无穷多次，则为limit n>∞之情况
也就是 我们要证明 limit n>∞, an=1
将数列a1到an取ln可得
ln a1=ln x
ln a2=1/2ln a1
ln a3=1/2ln a2=1/4 ln a1
.....
ln an=(1/(2)^n-1)ln a1
limit n>∞, ln an=(1/(2)^n-1) ln a1
将后面的两部分分开来看, limit n >∞, (1/(2)^n-1) 可以确定是0
0*ln a1=0 =ln an, 故 an=1得证。>>>>>>>从这里可以知道 只要ln an=0, 则an=1,
an=1就表示“都会变成1”这句话。
但是!!! 如何确定0*(ln a1)是0呢!!!!
回到一开始的定义
我假定x=a1 ,所以 ln x= ln a1
那x是多少?
照你的意思 “不管多大的数字”
所以我假定x趋近于无穷大
>>把有x的部分改为n
limit n>∞ ln n是无穷大
上式(0*ln a1)变成 0*∞
无法确定
再把两个条件同时考虑:
不管多大的数字> 趋近于无穷大
开很多次根号 >开无穷多次的根号
原式变成 limit n >∞, ln an=(1/(2)^n-1)*(ln n) =(ln n)/((2)^n-1)
为使用罗必达法则
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B4%9B%E5%BF%85%E8%BE%BE%E6%B3%95%E5%88%99
若令f(x)=ln n ,g(x)=((2)^n-1)
则ln an可写成 f(x)/g(x)
终于可以用罗必达法则啦!
limit x > c, f(x)/g(x)= limit x> c ,f'(x)/g'(x)
也就是!!!
分子分母同时给他微分!!
f'(x)/g'(x)=(1/n)/(n-1)*(2^n-2)
拆开来看 = (1/n)/(n-1)* 1/(2^n-2) = (1/n*(n-1)) *(1/(2^n-2))
limit n >∞, (1/n*(n-1))*(1/(2^n-2)) =0=ln an!!!!!!!!!!!!!!!!1
an=1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
得证，不管多大的数，开无限多次根号后，都会等于1!!!!!!!!!!!
比想像中难证ㄟ
看不懂的就当我赚P币吧
看得懂的麻烦纠正一下 我总觉得我哪里写错了
谢谢