自然数有三种不同的欣赏方式
1.凭借直觉、直观的方式
2.Peano公理化的方式
3.借由集合论建构的方式
★★★直观生成★★★
这种方式也是小学老师教我们的方式
透过直观把自然数跟具体的事物连结起来
这种能力小孩子就有了
甚至一些比较聪明的动物如海豚、黑猩猩也有
所以自然数的概念不是人类独有
至于自然数的运算规则，人类很早就熟悉了
但是到了十九世纪初，才有数学家概括出这些法则
① a+b 是一个数 (存在性)
② a+b 单值 (唯一性)
③ a+b = b+a (交换律)
④ (a+b)+c = a+(b+c) 结合律
⑤ a*b 是一个数
⑥ a*b 单值
⑦ a*b = b*a
⑧ (a*b)*c = a*(b*c)
⑨ a*(b+c) = a*b + a*c 分配律
证明这些法则也是透过直观的自然数概念
与直观的加法概念、直观的乘法概念
例如我们把每个自然数对应到如下的具体事物
1→●
2→●●
3→●●●
4→●●●●
5→●●●●●
6→●●●●●●
...............
其实就是数(ㄕㄨˇ)数(ㄕㄨˋ)的能力
加法的概念就是把对应的事物合在一起数(ㄕㄨˇ)
例如③ a+b = b+a 交换律的证明
●●● + ●●●●●
a b
把你的萤幕(或是头)转180度
上面的图会变成
●●●●● + ●●●
b a
这就是加法交换律
④ (a+b)+c = a+(b+c) 结合律
●●●+●●●●●+●●●●
a b c
Step1.转180度变成
●●●●+●●●●●+●●●
c b a
Step2.前面两个转180度，第三个不转变成
(注意:图像的运算(ㄕㄨˇㄕㄨˋ)都是由左往右
也就是 (a+b)+c 转一下变成 (c+b)+a )
●●●●●+●●●●+●●●
b c a
Step3.前面两个先算出来，第三个保留
●●●●●●●●● +●●●
b+c a
Step4.再转180度
●●●+ ●●●●●●●●●
a b+c
这就是加法结合律
乘法的概念则是"几倍"的概念
这个概念海豚、黑猩猩可能没有
如果你有认识的海豚有的话请说一下
⑦ a*b = b*a
●●●●● 的 ●●● 倍 = ●●●●● 每层a个
a b ●●●●● 有b层
●●●●●
把图转九十度后变成
●●● 每层b个
●●●
●●● b*a 有a层
●●●
●●●
⑧ (a*b)*c = a*(b*c)
用"三维的体积"去想也很直观
长*宽*高的概念，"长的宽倍的高倍"
翻转立方体
⑨ a*(b+c) = a*b + a*c 分配律
每层a个
●●●●●●
●●●●●● b层
●●●●●●
●●●●●●
●●●●●● c层
●●●●●●
把b,c层劈开变成
每层a个
●●●●●●
●●●●●● b层
●●●●●●
●●●●●●
●●●●●● c层
●●●●●●
除了顺序(比大小)的规则之外
我们所有自然数的运算规则就是上面九条
虽然看起来很像体的公理
但是我们自然数观点都跟具体事物做连结
"证明"也是透过具体的图像
所以并不能看做公理
第二种看法才是公理化的方法
这种观点不再依赖直觉
也不能跟具体的图像做连结
必须舍弃直觉，让逻辑做主导
公理化一开始必须有一些无法定义的东西
在这里是 1、N、σ 三个原始的物件
这三个东西是什么，只能透过公理去理解
现代的公理化方法都这样
例如集合论的公理化不能定义也无法定义集合是什么
机率论的公理化不能定义也无法定义机率是什么
欧氏几何公理化不能定义点、线、面是什么
(所以欧几里得的几何原本用现在的观点来看
还不是真正的公理化，要等到David Hilbert,
欧几里得尝试去说明点线是什么，
例如他说点是no part,线没有宽度等等
结果反而引起更多问题)
我们做推论时，必须假装我们不知道自然数是什么
也就是仅依靠逻辑跟公理
所以在看下去之前
请跟直观、直觉断开连结 ✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂
★★★Peano公理★★★
公理❶ ☞ N is a set with 1∈N and σ: N → N is a function.
这个公理是说 N 是一个集合, 而且 1 属于 N
并且 σ: N → N 是一个 N 对应到 N 的函数
因为 N 里面至少有 1, 从而会有 σ(1), σ(σ(1)), σ(σ(σ(1))),...
因此我们就可以作一些定义
定义Ⓐ ☞
σ(1) = 2
σ(2) = 3
σ(3) = 4
σ(4) = 5
σ(5) = 6
σ(6) = 7
σ(7) = 8
σ(8) = 9
但是 N 也可能只有一个元素 1
例如 N={1}, 1=2=3=4=5=6=7=8=9
换句话说, 整个自然数世界只有 1
为了避免这种无聊的状况发生
我们需要其他的公理
公理❷ ☞ The range of σ does not contain 1.
亦即 ☞ ┐( 1 ∈ ran σ )
或 ☞ ∀x ∈ N, σ(x)≠1
因此 σ(1) = 2 ≠ 1
这个公理可以一生二, ☯生两仪
然而整个自然数世界仍可能只有两仪
例如 N={1,2}, σ(1)=2, σ(2)=2
即 2=3=4=5=6=7=8=9
Peano 说要有三宝, 所以有了以下公理
公理❸ ☞ The function σ: N → N is injective.
亦即 ☞ ∀x,y ∈ N, ( σ(x)=σ(y) → x=y )
或 ☞ ∀x,y ∈ N, ( x≠y → σ(x)≠σ(y) )
这个公理说 1≠2 → σ(1)≠σ(2) → 2≠3
又 3=σ(2)≠1 (公理❷)
所以三宝诞生了
同样地，我们也可以证明1,2,3,4两两不相等
三宝生四象、八卦、......
看一下怎么证明 3≠8
定理①: 3≠8
证明: 若 3=8, 根据定义Ⓐ, σ(2)=σ(7); 根据公理❸, 2=7;
根据定义Ⓐ, σ(1)=σ(6); 根据公理❸, 1=6;
根据定义Ⓐ, 1=σ(5) ; 但是根据公理❷, σ(5)≠1;
得到矛盾, 所以 3≠8
这样看来我们要的"自然数"都有了
为什么还要最后一个公理?
因为不但自然数有了，可能连其他的数也跑进来了
例如:
N = {1,2,3,4,5,......}∪{1.1, 2.1, 3.1, 4.1, .......}
σ的定义就像+1 : n → n+1
我们还没有正式定义加法
所以这里只是大概的说明
以上的 1、N、σ，完全符合公理❶❷❸
公理❹ ☞ 若 S ⊂ N 并且
1∈S and ∀x (x∈S → σ(x)∈S )
则 S = N
公理❹能够排除掉上面的例子
我们再定义加法跟乘法
定义Ⓑ ☞
① ∀x∈N , x+1 = σ(x)
② ∀x,y ∈ N, ( x + σ(y) = σ(x+y) )
③ ∀x∈N , x*1 = x
④ ∀x,y ∈ N, ( x*σ(y) = x + x*y )
我们可以证明第一种观点的运算规则
例如加法结合律 (a+b)+c = a+(b+c)
证明:
Let S={c∈N : ∀a,b ∈ N, (a+b)+c = a+(b+c)}
要用公理❹(数学归纳法)
S ⊂ N
验证 1∈S
(a+b)+1 = σ(a+b) 定义①
= a + σ(b) 定义②
= a+(b+1) 定义①
对任意的a,b
(a+b)+σ(c) = σ((a+b)+c) 定义②
=σ(a+(b+c)) 假设 c∈S
=a+σ(b+c) 定义②
=a+(b+σ(c)) 定义②
所以σ(c)∈S
QED
其他的规则都可以由这四个公理加定义推导(以下省略)
直观生成的自然数，我想到Kronecker的一句话:
“上帝创造了自然数，其余是人的工作”
所以什么是自然数?
请去问上帝，因为自然数是祂创造的
祂也会告诉你1+1等于多少
Peano公理化的自然数是什么?
佛曰:“不可说”
无法定义，你觉得像什么就是什么
1+1=2只是很简单的证明，不必靠上帝
最后第三种观点
★★★集合论的观点★★★
也就是数学板的第一篇 (朝圣时间)
集合论有不少版本 ZFC,NBG 等等
ZFNBG 都是人名
Zermelo, Fraenkel
Neumann, Bernays, Godel
数学板的第一篇是 NBG 式的，它有 universal class
ZFC 没有，ZFC 只有 set
但 NBG 描述 sets 的能力跟 ZFC 一样
另外还有 Russell 的 Type theory
他们采用不同的方式避开罗素悖论发展集合论
罗素说: 自己的悖论，自己救。
罗素悖论大家应该不陌生
就罗素用很朴素、自然、不华丽的方式定义了罗素集
接着马上在逻辑上证明它不存在
所以对于原本认为安全的集合构造方法产生危机
简单讲就是不能让公理造出罗素集
这里有一个观念就是定义是一回事
证明定义出来的东西存在是另一回事
就好像你高兴的话也可以定义你心目中的“鬼”是什么样子
但是祂存不存在是另一回事
拿前面Peano观点的定义Ⓐ来说
定义出来的 2、3、4、5、....
他们的存在是公理❶所保证，不必靠上帝
最后如果你只关心自然数的集合论
有一个比较小的版本，针对自然数的集合论
General set theory
https://en.wikipedia.org/wiki/General_set_theory
它略去了很多NGB或ZFC的公理
只保留了足够发展出自然数的公理