http://udn.com/news/story/7314/792418
昨晚，你被那国小数学四边形逼疯了吗？ 联合报 记者陈皓嬿╱即时报导
昨天晚上，有一道国小数学题目，把众网友逼疯，该问题也被转载到脸书社群上，让困惑
的族群快速扩大中。
昨晚在ＰＴＴ八卦版上，有一位网友“ｋ４”ＰＯ了一张图片，并问“图中灰色面积是多
少”（http://disp.cc/b/163-8zJJ）。
根据ｋ４提供的图片，该图为一个６０公尺ｘ３５公尺的长方形，中间开了两条底为８公
尺的直的平行四边形道路，还有一条底为５公尺的横的平行四边形道路。
该题目问，如果扣掉这三条白色道路的面积，剩下的灰色面积为多少？
一开始许多人纷纷吐嘈、嘲笑ｋ４，提出“平行四边形面积＝底ｘ高＝同底等高的长方形
面积”，因此只要将歪斜的道路拉直，然后并到边边角角，就可以算出灰色区域的面积，
等同于一个长为６０－８Ｘ２＝４４公尺，宽为３５－５＝３０公尺的长方形，其面积为
４４ｘ３０＝１３２０平方公尺（如下图）。
http://uc.udn.com.tw/photo/2015/03/27/realtime/643838.PNG
但这个解法很快被打脸（并还ｋ４一个清白），因为把白色道路拆掉后，灰色区域怎么样
都无法拼成一个完整的长方形，中间会留有空隙，因此网友们顿时将题目难度从国小跃升
到大学以上等级，引起大家热烈讨论。
后来，有人先把题目的图画到纸上，然后将中间道路剪下来，发现剩余部分的确无法拼成
完整长方形，但边边多出来的部分能否靠“挖东墙补西墙”补上，又有争议。
有人则祭出工程绘图软件ＣＡＤ，把图重新绘制一遍，后来发现问题症结点，是当直的两
条路和横的那条路之间，夹角变化不同时，中间重叠的部分，面积也会跟着变动？
ＣＡＤ挪移的结果显示，当横路与直路夹的内角较小时，重叠的平行四边形所占面积最大
，因此灰色面积总和最小，当横路与直路互相垂直时，重叠的平行四边形所占面积最小，
灰色的面积总和最大，等于１３２０平方公尺（如下图）。
http://uc.udn.com.tw/photo/2015/03/27/realtime/643835.PNG
为了让大家可以早点洗洗睡，记者也默默祭出联合报“阅读数学”专栏作家赖以威解惑。
半夜被要胁因此还不能睡觉的赖以威解释，问题关键卡在“中间重叠的平行四边形角度未
知，所以无法推算其面积”；换句话说，只要两路夹角一变动，中间重叠面积就会跟着变
，因此此题无解。
赖以威举例，先看横路（宽为5公尺）平行长方形的长的情况，在此条件下，该横路的宽
（5公尺）就会是中间重叠平行四边形的高，因此只要直路的宽（都是8公尺）不变，不管
直路和横路间的角度如何变化，中间重叠的平行四边形面积都是固定的，面积等于直路宽
（底）Ｘ横路宽（高）＝８Ｘ５＝４０平方公尺。
但赖以威指出，只要横路没有平行于长方形的长，那么中间重叠的平行四边形的底和高就
都改变了，平行四边形的高不再是５公尺，因此中间重叠的面积必然不相同。
http://uc.udn.com.tw/photo/2015/03/27/realtime/643836.JPG
比较两个例子（见上图，记者半夜只能阳春手绘真是不好意思，请各位别介意）。
例子一是如上所述，横路、直路的宽都是８，且横路（蓝色）平行于长方形的长，因此不
管直路（红色）的角度如何歪斜，两者中间重叠的平行四边形面积皆为８Ｘ８＝６４。
例子二则是同样维持直路横路宽为８，但是横路（蓝色）不平行长方形的长，直路（红色
）不平行长方形的宽，而两路互相垂直，因此中间重叠的面积是一个正方形。
正方形的边为８cosθ，或是８cosφ，根据ＲＨＳ相似，θ＝φ（废话，正方形的边当然
都一样长），所以计算该正方形面积，会等于８cosθ Ｘ ８cosφ ＝ ６４（cosθ
）^２，而只有在θ＝０的时候，cosθ才会等于１，因此很显然例二中的正方形面积，不
等于例一中的平行四边形面积。
好啦，证明完毕，大家赶快洗洗睡吧！还有疑问的话，欢迎读者上赖以威的脸书（
https://www.facebook.com/iweilai0924）继续讨论。
下图是赖以威和他的朋友们共同制作的“互动绘图”，打开该页面可以看到左边长方形上
的红点可以拖曳，以改变三条道路的角度，并观看面积变化；右方的图则是将三条道路拿
掉后，读者可以试图拖曳不同的四边形，将灰色剩余面积拼拼看能不能变成一个长方形。
http://tube.geogebra.org/student/mHf26bqcB