这并不能算是数学戏法, 这是观点上的不同.
这位教授为了要让一般人能够理解, 所以将很多前提假设轻描淡写地放在影片中带过.
大概是为了让大家感到有趣不要有压力.
可是这些前提假设是相当重要的.
我们一个一个来复习一下.
S1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1.... = 1/2
前提1 : 这世界上并没有无限大这种东西.
事实上也是这样, 各位可以回想一下高中数学. n趋近于无限大怎么写?
n → ∞
为何要写 lim n 不是 lim n ?
n→∞ n=∞
因为所谓无限大是人类想出来的虚拟数值, 为了能够方便计算. 只存在于理想世界中.
实际上是不存在的, 所以严谨来说 x=∞ 是不存在的, 这世界上只有 x→∞
因此如果用高中数列观念来看, 数学老师都会用叫我们停在某一项来观察.
在边就会得出数列在 1 0 之间跳动. 是发散数列.
这边暂停先回到上一句.
所谓观察, 就是等号(=), 是一种将数列停下后计算的行为.
但这个数列有无限多, 我只要在任何地方停下来, 都还会有数字要加减.
所以这数列是无法计算的, 因此我们用期望值1/2表示. 表示什么?
表示他在两个数字间不断跳动, 这两个数字的中心点叫做1/2.
因为我们"无法停下", 所以只能以期望值表示.
前提2:算出来数字为期望值, 表示数列跳动中心值
以上为S1代表之意义
>再来看S2
2 * S2 这边数列他做了一个平移的举动, 很多人会在这边争执.
"这是不同项, 项次要对齐阿, 怎么可以平移?"
但这是可接受的, why?
回到S1谈到的, 这是无限数列, 我们无法停下, 而且我们会尽可能的运算到无限多项.
在这前提下, 代表说其实当我们运算到很多项次的时候, 其实差那几项是可以被忽略的.
因为后面还是有很多项可以补足项数位移造成的项数差.
所以在 2 * S2 数列中 A(n)+A(n+1) 是一个group
当我们加到很多项的时候其实和 2*A(n) 一样. 这是一种合理的近似.
无须担心项数位移.
此外 S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7....
在每一下停下来的值 1 -1 +2 -2 +3 -3 +4 ...
你可观察到他也是个不断跳动的发散数列.
这边可从S1推导获得, S2的期望值为 1/4.
也就是说, (1) S2数列可以借由S1移项产生
(2) 且此发散数列的中间值(重心)在 1/4处
以上为S2代表的意义.
>> 再来看最后的推导
这边过程其实没啥好说的, 但对于结果的解释非常重要.
它的结果并不叫做总和值 = -1/12
有几点要特别注意
(1). 它是一个发散数列. 以物理观点来看, 这不是总值.
(2). 这数列的A(n), 可以借由前面的平移推出来.
(3). (2)中的平移项次 k << n 所以在趋近于无限多项候可以被忽视.
且因为我们并不能停下, 项次不对齐, 多几项少几项都可以在后面的数列补齐.
因为我们永远加不完, 我们不用去担心会少多少多多少, 我们有无限多资源来弥补.
(4). 也因为我们永远无法加完, 我们只能预测该发散项数列跳动的 " 重心 " 在哪里.
也就是 -1/12.
最大的迷思就是在于S1的, 无限大并不存在.
所以我们无法有观察(=)这个动作.
与常理发生冲突就是在这个等号的出现. 有等号出现就代表观察, 代表运算停下(结束).
但是观察(停下)这个动作在对无限多项数列运算就是不合理的.
(都还没算完怎么可以停下?)
但是任何人中途停下想要观察结果, 就会对此数列造成干扰, 无限大将不再是无限大.
他将变成个有限数列, 数列平移将会造成影响, 以上推导将不复存在.
理论架构崩解.
我不是数学系出身, 我是念物理的, 以上逻辑观点是从量子力学波函数的概念出发.
详细情况有兴趣可去参考 <薛丁格的猫> 的案例.
在量子力学世界中, 在观察这只猫之前, 牠有可能是死的, 有可能活的.
机率一半一半, 所牠是只半死不活的猫 (机率波函数叠加 = 1/2 ) 没开箱子你观察不到
但任何人只要打开箱子观察, 就会造成波函数的塌缩.
让这只猫变成是死的, 或是活的. (1 or 0)
已经开箱造成干扰, 所以你观察得到.
套成上面数列案例, 只要一观察这个数列, 就会得到无限大的结果.
但是不做观察, 就会得到 -1/12 的波函数叠加结果.
如有BUG有请大家指证.