Re: [新闻] 把1加到无限大 得到的答案将使你吃惊!

楼主: mikapauli (桜花)   2014-11-25 20:58:14
这里试着用图示的方式说明几个求和方法,希望能帮助理解一些求和的概念,
并了解sum(1,-1,1,-1,...)=1/2和sum(1,-2,3,-4,...)=1/4是从何而来。
以下用长条图表示在求级数和的前几步中,数列前几项的加权,
也就是要算白长条(各乘上a0,a1,...)的总面积。
请按page down
传统求和法
─────
无法计算sum(1,-1,1,-1,...)和sum(1,-2,3,-4,...)
S1
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18


















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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S19
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(改良的求和法)
Cesaro求和法
─────
可以计算sum(1,-1,1,-1,...)但无法计算sum(1,-2,3,-4,...)
S1
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18


















0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18









█ █
█ █
█ █
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█ █
█ █
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█ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S3
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18






█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S4
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18




█ ▄
█ █
█ █
█ █
█ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █
█ █ █ ▄
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S5
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18



█ ▃
█ █
█ █
█ █
█ █ ▆
█ █ █
█ █ █
█ █ █ ▂
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S6
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18



█ █
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█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S7
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18


█ ▃
█ █
█ █
█ █ ▇
█ █ █
█ █ █ ▂
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S8
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18


█ ▆
█ █
█ █ ▄
█ █ █
█ █ █ ▂
█ █ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S9
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18


█ █
█ █
█ █ █
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█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S10
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ ▂
█ █
█ █ ▃
█ █ █
█ █ █ ▅
█ █ █ █
█ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S11
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ ▃
█ █
█ █ ▆
█ █ █ ˍ
█ █ █ █
█ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S12
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ ▄
█ █
█ █ █
█ █ █ ▄
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S13
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ ▅
█ █ ▂
█ █ █
█ █ █ ▇
█ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ ˍ
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S14
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ ▆
█ █ ▃
█ █ █ ▁
█ █ █ █
█ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S15
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ ▆
█ █ ▅
█ █ █ ▃
█ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S16
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ ▇
█ █ ▆
█ █ █ ▅
█ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
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█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S17
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ █
█ █ ▇
█ █ █ ▇
█ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▁
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ _
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S18
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

█ █
█ █ █
█ █ █ █
█ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S19
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
█ _
█ █ ▁
█ █ █ ▁
█ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ ▂
█ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ ▃
█ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▄
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▅
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▆
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ ▇
█ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █ █
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(更改良的求和法)
Abel求和法
─────
可以计算sum(1,-1,1,-1,...)和sum(1,-2,3,-4,...)
S1
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18

















█ ▇ _
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18
















█ ▆
█ █ ▁
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S3
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18















█ ▆
█ █
█ █ ▃ _
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S4
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18














█ ▅
█ █
█ █
█ █ ▆ ▁ _
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S5
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18













█ ▄
█ █
█ █
█ █ ▁
█ █ █ ▂ ˍ
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S6
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S7
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S8
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S9
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S10
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S11
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S12
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S13
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S14
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S15
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S16
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S17
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作者: gonghigh (Justin lee taiwan李宗瑞)   2013-11-25 20:58:00
嗯嗯,跟我想的一样耶

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