代Hyuui PO文
作者Hyuui (修) 看板Math
标题Re: [分析] Zeta函数和Gamma函数的一些小知识
时间Fri May 30 09:01:37 2014
我在之前的文章中，证明了Zeta函数的解析延拓。
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html
如果只要求证明解析延拓的话，不需要算出过程中一些系数的确切值。
也不需要动什么奇怪手术，所以我那篇文章非常简短。
而这篇文章要证明以下式子：
Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1)
其中B_n为Bernoulli number。
这会稍微复杂一点，但也不是很困难的事。
而且有了该式，我们显然可得：
Zeta{0} = B_1 = -1/2
= 1 + 1 + 1 + ...
Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12
= 1 + 2 + 3 + ...
注意：
严格来说，解析延拓的Zeta函数在拓展后的定义域中，
其实已经不是 Sum{1/n^z} 的形式了。
所以上述两式等于后半的发散级数，其实并不严谨。
──
1.
我在之前的文章提到：
把 1 / (e^t -1) 作Laurent展开，系数先不管它。
1 / (e^t -1)
= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...
如果真的去计算那些系数(依照Laurent展开的定义即可)，会得到以下结果：
a_0 = -1/2
a_(2k) = 0
a_(2k-1) = B_2k / (2k)!
这里的B_n称为Bernoulli number，其中一种定义方式即为：
t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! }
且从上述的计算可知，B_n在 n>1 时的奇数项皆为0
所以
t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! }
做个简单的多项式积分：
Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt
= Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt
= Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) }
它的前几项是：
k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1)
k=1, B_1 / t = -1 / (2t)
k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1)
k=3或更大的奇数, 0
k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3)
k=6, ... (省略)
注意到前三项就是Chatterly的“手术”乱凑出的项，但这是错的。
因为这三项根本就是第一个积分的一部分，要写也没写完。
//
Chatterly：
乡民只要记得,这里最大的关键的数学家机密就是我6月15号要公布我的计算过程
重点是做手术 重点是做手术
-> 手术结果就是在下面上色的
重点是做手术 重点是做手术