※ 引述《hayuyang (凤山蠹)》之铭言：
: 推 ianlin1216: 所以极限的定义是什么 我现在还是看不懂 12/26 16:50
: 推 pponywong: 要懂微积分 要修高等微积分啦 12/26 16:52
不用特别修高等微积分啦，极限的概念跟中学的数学相比，
确实是很崭新，但切记：数学理论的发展，都是为了简化问题
所以数学不应该是艰涩难懂的东西 :)
整个极限的概念的太初之始就是 数列的极限，
其他的极限(比如函数的极限lim f(x) 这种)都只是数列极限的变形
所以我们就来看数列的极限是啥
〈从简单的例子出发〉
考虑 An = 1/n 这个连角卷绵芽都看得懂的例子
https://i.imgur.com/M8zLo4L.jpg
不管极限定义是啥，“数列An的极限是 0”这个我想是没有争议的。
即使不管n多大 An 都不会是0，但显然 An会朝着 0 前进。
从这边出发如果要给个定义，很自然有下列这个候选：
随着 n 越来越大， An 就越来越靠近 0。
所以 An 的极限是 0
这个定义其实很直观，角卷绵芽都听得懂。
但是技术上会遇到一点小问题
〈一个稍微靠北的例子〉
考虑一个角卷绵芽可能比较难想像的例子
数列 Bn = 1/n , n 是奇数
0 , n 是偶数
https://i.imgur.com/OeOhs2x.jpg
也就是说，这个数列一半像 1/n，另一半则是 0。
首先可以注意到的是：Bn 并没有"随着 n越来越大 就越来越靠近0"
因为Bn在奇数项直接就等于0了。
所以上面的极限定义并没办法说明Bn极限为0。
但...“Bn的极限是0”也是一件没有争议的事情。
因为Bn列车也是一路开往 0 。
有人可能想提问：啊干 你在找碴喔？n越大数列整体还是越来越接近0啊
是的，“n越大数列整体越来越接近0”这个就是进代极限的想法
〈进代数列极限定义〉
那所谓的“整个越来越接近0”，在数学上是什么意思呢？
不管你怎么想，始终都会走到“n如果够大，那Bn就会在0旁边”这结论
再写得量化一点：只要n够大，Bn与0的距离就会很接近
这个其实已经够好了，但是“很接近”是一种感觉，不是数学语言。
所以这个定义仍然需要再精进。
再榨出一些脑汁之后，终究会走到：
不管你给一个多么小的数字 c，只要n够大，
Bn 与 0 的距离就保证比 c 小 (当然 因为这是距离 c肯定要是正数)
这样我们就可以量化地阐述上面“很接近”的意思。
到这里，我们已经得到微积分课本上的数列极限定义了
只是一般课本里面会写成：
对于数列 An，如果给定任何正数 ε，
我们都可以找到一个分水岭 N，在 n超过这个分水岭之后，
An 与某数字 a 的差距都小于 ε，则我们称 An 的极限为 a
到这里，你对数列极限的理解已经跟数学大侠们一样了
https://i.imgur.com/AsqHWl2.png
从此不再需要闻极限色变 :)

你就想像跟赌神对赌 然后证明他一定能比你大/小如果怎样都证明不了 那可能就有问题

那请问An累加的极限是多少

基本的确实没很难 有些进阶的比较复杂例如一个级数正常会爆 但数学家想了新方法让他不会爆

而且一般课本写的不是只对无限大而已..

知名的1-1+1-1+1-1+.... 他确实是发散的但有某个我没在记名称的什么什么和真的等于1/2

极限是0的东西为啥加起来极限就不是0 意义阿里(跑

简单来说定义可以让你知道极限是0而非-1

那个正负1的数列和不是用一般极限定义去算的

1/2不是正常的数列和 正常的就是不存在

1按到啦 我对极限的记忆只停留在高中程度 大学虽然有工数跟微积分 但我完全不记得哪里有在用极限 傅立叶？

但一般人不知道会不会收敛吧我更正一下 为什么极限是0的数列加起来会发散

微积分一定会用到 只是看你是只需要公式化做题还是像真的知道你在干什么调和级数本身就很神奇了比如说1/(n^x)累加 x在什么时候才刚好会爆炸

谢谢说明 搭配chatgpt 有一点感觉了

大一微积分先接触到的东东 棉芽都会

考试会考你怎么用ε-δ证明一些简单的极限但都是很好凑的东西，只是要确定你理解而已

那数学在两个数之间也给它个最小极限 普朗克尺度怎样(?

微积分会全坏 第四次数学危机(并没有)数学和物理分家还是有必要的

蛤？不是趋近于0吗？

角卷绵芽听得懂有什么了不起 古拉有听懂吗

所以2.5为什么会被次元斩干掉QQ？