※ 引述《arrenwu (不是绵芽的错)》之铭言：
: 对小学生来说这个有点困难，因为小学生普遍没什么代数的概念
: 我比较建议搁置这问题。
: : 二、如果是对国中生说
: : 三、如果是对高中生说
: : 0.9bar = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ......
: : = 0.9 x 1 +
: : 0.9 x 0.1 +
: : 0.9 x 0.01 +
: : 0.9 x 0.001 + ......
: : = 0.9 x (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 +......)
: : = 0.9 x (1 / (1- 1/10 )) (无穷等比级数 懒得用sum写)
: : = 0.9 x 10/9
: : = 1
: 你对国高中生说的话其实是一样的
: 高中数学里面，得出无穷等比级数和 = 首项/(1-公比)，
: 使用的手法就是你对国中生讲的话
: : 四、如果是对比较强一点的高中生 ~ 有点数学背景的大学生
: 这间我们切入这问题的核心：什么是0.9bar？
: 其实这问题我觉得没有那么trivial，因为即便到高中，
: 虽然大家操作无穷等比级数几乎都手到擒来，
: 但其实大多数学生没有好好想过那个"∞"在干啥
: 对很多人来说，"0.9999999999999999......" 是一种感觉
: “就是0.9 0.99 0.999 ... [email protected]#[email protected]#[email protected]#[email protected]#[email protected] .... 一直写下去”
: 然后就不知道该怎么描述了
: 其实我们帮这些直觉翻译一下，会得到下面这结果
: 定义数列 An = 0.999...99 (小数点后面n个9)
: A1 = 0.9, A2 = 0.99, A3 = 0.999, ........
:
: 0.9bar = lim An
: n->∞
: 基于上面的描述，会得到 0.9bar = 1
: 不同意的，就叫他自己描述一下他心中的 0.9bar 是什么样子
: 如果对方无法定义自己心中的 0.9bar 却还是坚持不等于1 ....
: 可能是脑袋刚好打结了
: 让他看一下角卷绵芽的直播舒缓一下吧
: https://youtu.be/l6rlIOetkwg (现正直播中)
推ThousandSnow: 我是用反证法说服自己0.9bar=1，如果等号不
成立的话会出大事
看到这句话，我想起其实在高微或是实分析有时候想要证明相等或是=0
大概会用到这个叙述:
x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y
而这个叙述成立的证明，的确就是反证法:
(这里用反证法)
Suppose x < y+εfor all ε > 0 and x>y
Then take ε= y-x > 0
Then x < y+(y-x)=x, -> <-
So, x≦y
(这里不用反证法)
Coversely, suppose x≦y and let ε > 0
We consider
(i) x < y
Then x = x+0 < y+0 < y+ε
So, the relation holds when x < y
(ii) x = y
Then x = y+0 < y+ε
So, the relation holds when x = y
Since ε is arbitrary, x < y+εfor all ε > 0
如此一来就证明了这个结果
但这个结果其实我们也可以换个角度改写:
x > y-εfor all ε > 0 if and only if x≧y
成立的理由非常简单， x > y-ε <=> y < x+ε
那这个就只是把前面的结果x,y互换而已
所以可能会常常看到像是什么|OOXX| < ε for all ε > 0
所以得到OOXX = 0这种东西
我相信你在处理这个会发生大事的过程，大约也是有用到这个概念...
但这个必须建立在对0.999.....9(m个，m可能很大，像是1000000000000000，但是是有限)
和lim 0.9999...9(n个)能够区分的前题下，这个论述才有意义
n->∞
0.999.....9(m个，m可能很大)是不是1? 当然不是
但取limit(也就是在符合epsilon-delta statement下的那个L)是1
lim 0.9999...9 本来就不是在说0.9999..9(m个，m可能很大)是多少
n->∞
因此在学极限时，不要把能在纸上写出来的东西，当成是limit的值是很重要的
而x < y+εfor all ε > 0 if and only if x≦y
这个性质看似不直觉和奇怪，倒是常常用来处理证明定理的其中一种方法
然后原问题其实是在讨论所有质数的集合和自然数的集合的cardinality
解决方法就是要认识在无穷集的cardinality相等是怎么定的(也就是存在一个bijection)
然后去找every infinite subset of a countable infinite set is countable的证明
这样就保证P和N之间有bijection了
这些其实你只要读过像是 Discrete and Combinatorial Mathematics by Grimaldi
大概就知道怎么回答这个问题，而这个也只需要大学部程度就可以了

上色失败

南无阿弥陀佛

我也这么觉得

这一串真的让我感觉到ptt是学术论坛而且大学生以上才能注册

奥妙 虽然N⊂Z⊂Q但可数无穷大的cardinality都一样但如果限制一个范围，就能比较大小，有理数虽然还是无穷多，但自然数和质数的大小数得出来，就能比了像PrimeGrid去搜索很大的数字，中奖机率真的微乎其微位数越多出现质数的机率越小，这才是务实的答案

质数分布我没有看过细节怎么处理，所以我并不了解

3b1b频道搜prime有几部动画讲解

有种回到以前的 ptt 的感觉

记错了，3b1b的两部影片展示质数的某种规律性发现质数的机率应该是在PG的论坛上看到的https://reurl.cc/3O81p0 "the difficulty of findina prime is roughly proportional to X^3 * ln(X),where X is the number of digits in the prime."不过这数字也包含计算时间在@@ 不是纯粹质数出现机率

好的，谢谢分享

没错没错，我就是这样想的！