※ 引述《surimodo (好吃棉花糖)》之铭言：
: 就是EVA出现的其中之一使徒
: 能使用一招虚数之海
: 把人传送到另一个空间?
: 不过为啥真嗣从底下被吃掉
: 却从阴影(球体)出来
: 不懂
: 我以为应该从哪进去从哪出来
: 有没有希洽数学家能解释一下...?
先说，我不是数学家，只是工作需要看很多科普书。
欢迎数学系各大高手指教。
让我们先从欧几里得几何学说起吧。
欧几里得的《几何原本》写于西元前300年，约为战国时代。
然而现代国中数学以前的内容，都不脱于这本书提到的概念。
欧几里得几何有以下五个不证自明的公理。（抄自维基）
1. 从一点向另一点可以引一条直线。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直
线在这一边必定相交。
前四个公理简单易懂，但第五公理却显得相当冗长。
简单说一下，第五公理指的是，
　　设一条直线L分别与直线A、直线B相交，如图 https://imgur.com/yT6CVWG.jpg
　　而L与A、B在其中一侧（譬如说右侧）的内角和（图中标出红色的角）小于180度
　　则A、B必在这一侧（右侧）相交
第五公理等价于“通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。”
又称做平行公理。
听起来很废话对吧。
事实上，一千多年来，也真的有许多数学家认为平行公理是废话，
而想要用前四项公理证明平行公理。
但他们都失败了。数学家们不得不承认，必须赋予它“公理”的地位。
讲到这里可能已经有人知道我之后想讲什么了，不过这理先卖个关子。
先问个问题。三角形的内角和是几度？
聪明的你应该在小学就知道“三角形内角和是180度”了。
但这仅限于欧几里得平面。
想像地球表面是一个完美球面。
球面上的直线有个名字叫做“测地线”或“大圆”，指的是球面上，圆心在球心的圆。
（经线是测地线，纬线除了赤道外皆不是测地线）
球面上，由三条测地线形成的三角形，其内角和就大于180度。
举例来说，由北极点、北纬0度东经0度、北纬0度东经90度这三个点所形成的三角形，
内角皆为直角，故内角和为270度。
球面上的三角形还有个有趣的性质。
那就是，我们不需要知道边长，只要知道三个角是多少，以及球半径，
就知道三角形的面积是多少。（或者换个方式说，同一球面上的相似三角形必定全等）
公式为△ABC = R^2 (α+β+γ-π)
其中，α、β、γ为三个内角，π为180度。
推导过程我就省略了，大家可以自行试着推推看。
让我们把这个公式顺序调换一下：
1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC
可以看出，当R→∞时，左边为0。
也就是说，当球面半径趋近无限大时，球面趋近平面，
此时，三内角和α+β+γ=π=180度。
和我们小时候背的公式一样。
接下来要讲的会有点复杂。
我们可以把1 / R^2换成K，得到
K = (α+β+γ-π) / △ABC
这里的K相当于“高斯曲率”。
先说明什么是曲率。
平面上一条曲线在某个点上的曲率，为曲线在这个点上之切圆的半径的倒数。
正负号由曲线的方向而定。
曲面上的点在各个不同方向上皆有不同曲率，
而高斯曲率指的是曲面上一个点之最大曲率与最小曲率之乘积。
球面一点上的曲率在各个方向皆相同，可能皆为正数、或皆为负数。
故球面高斯曲率必为正数。
平面的高斯曲率为0。
那么，有没有高斯曲率为负数的曲面呢？
有的，那就是双曲面。双曲面的高斯曲率为负数。
神奇的是，双曲面符合欧几里得几何学的前四项公理，却不符合平行公理。
双曲面上，过一直线L外一点，可以作无限多条与直线L不相交的直线。
双曲面上，三角形的内角和小于180度。
接着让我们再回来看这个公式。双曲面上，
　　1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC = K < 0
　　1 / R^2 < 0
因此，双曲面可以视为半径为虚数的球面！
当然，这种讲法很不严谨，甚至可以说是穿凿附会，
请不要跟数学系的人这么说，绝对会被他们电爆。
再来谈一些双曲面上有趣的事吧。
球面是一个大小有限，却没有边界的曲面。
平面可以想像成半径无限大的球面。
那么，理应无限延伸的双曲面有没有办法映射到平面上呢？
有个东西叫做“庞加莱圆盘”，大概长得像这样 https://imgur.com/NXbGTGa.jpg
庞加莱圆盘是一个定义在单位圆（座标平面上半径为1的圆）的空间。
圆盘上的两点距离，可以用微分式写成
ds^2 = [4 / (1 - (x^2 + y^2))^2] (dx^2 + dy^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这项拿掉的话就是欧几里得几何学的距离定义
也就是说，圆盘上离原点越远((x^2 + y^2)越大)，
那么座标平面上微小距离(dx^2 + dy^2)所代表的庞加莱圆盘微小距离ds^2就越大。
而单位圆在庞加莱圆盘中所代表的，就是无限远处。
上图的庞加莱圆盘中有许多三角形，从圆盘的角度来看，这些三角形的面积皆相同。
但你从座标平面的角度看，越边缘的三角形就越小，因为边缘是无限远处。
这就是当我们把双曲空间映射到欧几里得空间时的结果。
到这里，终于可以回答问题了。
虚数空间是什么？
双曲曲面当然不是虚数空间，但至少可以给我一点启发。
我们可以把双曲曲面想成是一个镶嵌在第三轴为虚数之三维空间的球面。
（对，我承认我只是在穿凿附会，数学系的拜托别来找我）
而当我们把双曲曲面映射到座标平面上时，可以得到一个如庞加莱圆盘般，
有边界，面积却是无限大的单位圆。
（另一个例子是庞加莱半平面模型，有兴趣者可自行google看看）
有边界，却又无限，代表着什么？
代表它可以像黑洞般吞噬一切。
就像EVA的狄拉克之海一样。
至于Fate中，樱的虚数魔术是什么，由于我没看过HF也不好回答。
但我猜它也是一种空间魔术，借由双曲空间与欧几里得空间的映射关系，吞噬一切。

恩恩 我也是这样想的

说的好 我也这么觉得

你把我想讲的都讲完了

先推 以免别人说我看不懂

非欧几何我并没有啥涉猎，但从你第一行绿字开始，"球面上的三角形"已经跟我们一般人认知的"三角形"是不同的东西了甚至在我没有去查定义之前 我根本不知道什么叫做"球面上的三角形"

嗯嗯，讲的不错，就是这样

那的确是三条直线相交构成的图形啊

等等 这里不是西洽吗 说好的金发 傲娇 偶像 二次元呢

这就是另一个不直观的地方：什么叫做球面上的直线？ㄟ 我不太同意数学很不直观 只是不一定很直白而已

嗯嗯 英雄所见略同

わかります(才怪

直线应该是指在欧式空间的时候吧?所以我猜所谓球面上的直线应该是指非欧式空间那条直线所呈现的方式?

那能算直线吗?我这样问 只取球面其上两点与对应的切面成老梗的欧氏二维空间圆形这样的话看来就像个弧 弧算直线吗?

他应该是说两点之间的"直线"是最在"定义球面上路径长"之后的最短路径啦

我记得我最开始学圆形的时候是这样说

很科普写的好

这个要重新定义直线/三角形/内角和欸而且还要确认重新定义后的版本可以适用原本的性质

啊就什么都要重新定义啊

所以我看不懂 说实在或者说 我多少看得懂想表达什么 但非本科需要更多的资料跟论文等等佐证

我"印象中"球面上两点之间的最短路径好像可以证明是过两点与球心的平面切到球面的那段弧长

推用心解说，我是数学女孩的爱好者

我是JK的爱好者，不限数学

以前好像教被过同时通过球心和AB两点的叫大圆弧线会最短

我想多数作者了解的根本没你的一半，只是觉得这词很帅

嗯~差不多就是这样子吧

漂亮 我也是这样子想的...

数学学公式很直观 但深入下去很不直观

可以肯定的是，过AB两点的所有平面中，通过球心那个截的弧长一定最短

是的，这篇把我想阐述的都说完了

可以说中文吗？

文组只看得懂前面啦

这样能算是聊天吗

你说的完全正确 这就是我想表达的内容

好多名词都忘得差不多了 XDDDD

我觉得d大说的算很清楚的了 这种东西毕竟还是要有多一些深入的了解才会比较好懂

うんうん、なるほど...

那..你可以用爱因斯坦广义相对论推论虚数空间的形式吗?

师爷 翻译翻译

"球面上两点最短长度是以球心作圆之弧长"这个是不是要用变分法啊？

有看完，我觉得讲的很平易近人啊，有回到大学的感觉，话说庞加莱这东西高中不会讲吧...我大学才看到欸

一点都不好懂... 别说内角和我连内角怎么算都不知道

我是有在科普书看过庞加莱平面

哪个平行世界的高二

这就是非数学系的人去修数论的感觉嘛

欧式平面内角就用量角器阿XD

数论是在教啥啊？ 我修过代数 比这个好懂很多XD

问题他就在讲非欧几何直线或者说测地线可以很直觉想到欧氏几何的弧线

看来我高中水准太差惹

但光两条测地线相交出内角之后要怎么算角度

高中没教啦 刚刚去wiki球面三角形才看懂原文再说瞎毁

跪了

好像懂了什么却又说不出来

写的很好 长知识了

好啦 算了 当我高中没毕业数学程度不及看懂这篇

我会提变分法是因为"球面上两点的最短距离"有点...没那么容易想像，或者说总觉得要接受是过球心之圆的弧长好像没有到那么直接

神人推

高斯取率 相对论 头又开始痛了

恩恩还不错跟我想得差不多

真 硬派 文

感谢解释，自我反省中

我觉得很不精确，当你重新定义的时候原本的线（函数）是否有可转换性，以压缩到圆或球好了 用保角转换也只能维持角度不变，这个函数都不一样了

我三岁的时候我爸已经叫我背的滚瓜烂熟了

话说，有人觉得刀剑的爱丽丝跟Saber长得很像吗?

不错，跟我想得一样

先推，等下再看

球面上的测地线不见得是最短的线，你得看有没有过共轭点。不用变分法搞出球面的测地线应该是可以的，但是较麻烦而已。然后那个空间有边无界我可不觉得跟黑洞有哪里相像

对不起 我没有上过高中... 五专生看不懂... QAQ

这个附会的方式还蛮有条理的

你是不是想讨论:拓扑学

虚数之海，我觉得只是随便写个很中二的词而已，大概是仿照狄拉克之海而已

李永乐老师教过

长知识了

原来如此

跟我想的一样

你想在猫格拉底决斗吗？

蘑菇会感谢你帮他解释原理(?)

有没有数学系要来补充这一篇神文的阿

还OK 这篇解释比较看得懂

你只是作投影而已阿 前面例子就是把双曲面投影到平面上 跟虚数空间有啥关系? 因为双曲面曲率为负值?

推 但我还是看不懂

二世事件簿也有讲到虚数空间

跟我想得一模一样呢

要提riemannian geometry就得先提inner product ,然后才能定义curvature, geodesic 那是段痛苦的过程

虚数空间就只是n维复数的集合

果然是黑洞嘛 内凹的圆 又要无限 只能是黑洞了

反正微分几何走到这里变得极为丑陋 至于直观这回事就真

不然换成四元数空间 不是更屌

什么鬼 QQ

理解了呢 嗯嗯

都引入line element的metric了还那来的虚数

一大早的头好痛

啥毁XDD

拓扑内容那本对连续是怎么定义的？

嗯嗯 赶快先推 不然人家会以为我不懂

八轩：咒...咒文！！！？？

先推以免别人以为我不懂

优文 长知识了

嗯嗯嗯嗯嗯 就是这样

有没有数学系的愿意分享更正确详尽且大多数人可以理解的版本，200p税前

我懂每个字的意思但组合起来就看不懂了QQ

楼上...知识的价格很高啊，要满足你的条件可能20000台币

但是要记得站内我QQ

都嫌少了

哇 高中的回忆都回来了 …

敝人穷，只能看看有没有人有兴趣QQ拜托不要嘘我QQ

就是没虚数之海这东西，就算把菲尔兹奖得主请来，他也讲不出个所以然，因为本来就没这东西

推

嗯嗯说得好我也是这么想的

专业推

那个圆盘让我想到之前都会有人贴的小手图XD

嗯 我今天网络用的够多了

我也是这么想的，感谢你愿意写成文章和大家分享！

跟我的想法一样 好巧

なるほど、まったくわからん

长知识

公式上推导很直观 但是那个模型一般人很难想像XD

QQ

怎么觉得这篇只是考究更多的唬烂而已…

嗯嗯跟我想的一样

头痛w

头痛

傻眼欸-.-

有本小说叫奥术神座,刚好就有描述到这个部份

一堆人在罗氏几何（非欧几何）那就直接挂了吧……

推有ref.这才叫有基本的论述 是说“接下来会有点复杂”开始就好像控制器按钮从跑跑姜饼人变模拟飞行2000……

看不懂啦==

爆头神座直接把近代数物发展流程全部介绍完，后期完全不懂主角在说什么www

数学的方程式能表达更高次元的事，问题人很难想像

恩恩 我正要说就是这样的

从双曲面开始就看不懂了XD

OK感谢你辛苦po了拓朴里面的连续定义XD

先推再说

这个定义确实跟我在点集拓朴学到的一样

嗯嗯 原来如此

但你没有觉得 点集拓朴 真他妈的很无聊吗？

???

唉呀 都被你打字讲完了

您好 想请问熵适用于热力学如果有反熵是不是就可以永动机了呢我文组的 在行政学看到这个名词好奇想问一下

恩恩 你np满了

看不懂崩溃,窝想要投虚数之海自尽QQ

虽然我看不懂但好像很专业

XD

快推，不然别人以为我看不懂

脑里的大象在跳舞 …，先推再看一次

看不懂喇干

果然跟我想的一样！

文组表示：完全看不懂

嗯嗯 我也是这样想的

嗯 我就知道是这样

我也这么认为呢

我明白

推

我来西洽就是为了做数学研究的

跟复变函数有关系吗？

快推 不然被人以为我看不懂

死棘之枪绝对没你想得那么多

看完还是不懂怎么办 球状阴影是怎回事

非欧几何的部分我真的觉得看公式比看图好懂

模拟投影的庞加莱圆盘?

起码看公式不会被自己的眼睛欺骗QQ

没错 我来西恰就是想看这样的学术探讨

图还是比较好懂啦 问题是你要画对

这种文才是我来西洽的目的

蘑菇懂不懂数学我不知道，不过哲学应该略懂死棘之枪会有这种因果逻辑的感觉应该就是从这边来的(思

一大早就那么硬派写实

嗯 好 对 没错 就是这样

脱离学校10多年了 看无啦QQ

恩 赞 放弃修拓墣

跟我想的一样

蘑菇：喔~原来虚数魔术是这个意思啊！

你打字速度比我快，又能表达我的意思，看来我该让贤了

嗯嗯 跟我想的一......干我大学有修过线代 近代物理怎么后面都听不懂= =

我要说的都被你说完了，嗯，干的好

在西洽看纯数 真是稀奇

怎么中间出现咒文咏唱？？？果然是魔术

恩恩 我刚刚正要发文 你就抢先我了

嗯嗯，跟我想讲的差不多，嗯嗯

没错就是这样

嗯嗯我也是这么想的

不懂定义在单位圆上的庞加莱圆盘上的两点距离会变到无限远的这段 也无法想像双曲线映射到球面这段,可否详细解释?

哪个人转去 math 板看看好了w

嗯嗯跟我想的一样

非欧几何不就拓朴

欸我文打到一半被抢了

这是替身攻击！

非欧几何很有趣啊，如果平行线都能交在同一点，就跟透视法一样了呢

看完之后.. 如果我的理解没错的话，总的来说就是多一个座标轴？就像一个线段有无限多的点一样。

快推

其实我也是这样想 嗯嗯

挖嘎哩妈斯

看了三次才懂……，但是曲面三角形的内角和和高斯曲率想再了解的话要看什么课本才有啊?本文来得太突然不太有说服力

这篇把我拉回现实了

这是我在C洽一年左右以来 头一个看不懂的文章

似乎还有一种是直接从复数空间嚎洨(想像)的路线例如用剑在空中挥砍 但意念或魔力在虚数空间中与之配合形成一个封闭曲线或包络面 然后其中有奇异点存在 就可以砍出魔法剑气 同时魔法阵纹也是类似道理 有些奇异点则是连接到神魔 而吟唱咒语则是在虚数空间中促成与物理世界的魔法阵纹形成复数包络 形成时启动3D留数定理(?!)奇异点的力量就绽放出来 大概是这样 QQ

推

果然是这样 嗯嗯嗯

PPT真卧虎藏龙，可以用波斯文和希伯来文打怎么长的文章....什么！？这是中文！

这很纯 我可以

我想了一个早上，应该就是这样没错

了解

我竟然能够理解这篇除了公式以外的推论……

嗯嗯 跟我想的差不多

http://i.imgur.com/tdti8hw.jpg わからん

有人说看公式比较好，但是我很认同可视化的价值常在看数学科普例如numberphile 3B1B的对非欧几何、虚数轴和拓朴的粗浅认识要理解这篇文章的主旨没那么难能把科学当娱乐的就是科普和科幻市场的阅听人特色就是严谨度会变低，省略只有专业/宅/厨(非贬义，凡事都有过犹不及，这里指极度认真到可能被认为过份的程度的人)才会拘泥的细节，直接表达想要传达的重点我觉得这才是刚刚好的甜蜜点过份认真的人在重点是庞加莱圆盘的文本下面抱怨没有覆诵一遍非欧几何的定义我觉得就有点无理取闹了在重点是未知数求解的文本下面抱怨没有对5*3是三个五还是五个三的定义说明白，稍微过份了吧？科幻成份的其中一种魅力就是能够让人依照自己的理解，稍微扭曲一点事实，然后达成帅气又中二的幻想大家都知道事实是不可能超越光速，那么我们就喜欢幻想如果可以的话会怎么样如果有人能够很好地把碎形或者原PO提到的庞加莱圆盘这种拥有“在有限内无限”性质的东西应用在科幻作品中，那么喜欢科幻娱乐的人自然会脑补一些有趣的应用作者自己在写的时候也许没想那么多，但是每个人都可以依照自己的知识库“假装”去理解作者的幻想，这种共鸣就是科幻题材的醍醐味今天原PO提出了他自己的知识对虚数之海的共鸣同样喜爱科幻的人看重的是原PO的脑洞长怎么样追究怎么开的就偏了

那黎曼猜想可以顺便解释一下吗

想问原po这个跟高中的关系是在二次曲线(椭圆 圆 双曲线)那边吗

高中只要知道曲率半径正负就好

我高中图书馆也有数学少女耶我看完了还有做笔记，最后没读理工

わ…わかります

球面上的三角形还能想像，但是想像不出来双曲面的图…

感谢详述,但不是我想问的问题XD重新看一次之后看懂了

我觉得ACG很多"虚数"的设定 作者可能没有要和真的虚数相关概念扯上关系 只是听起来比较中二比较潮就拿来用了

先推免得别人以为我看不懂

感觉就是坐电梯的圆盘

蘑菇：度的，我就是这样想的○

目前我们无法确定星体的绝对速度是多少，有的只是相对速度，假设一下我们现在是以接近光速移动，根据相对论，对于速度静止的观测者而言，我们现在只是一层薄膜，说是2D人物也是可以的

推专业文

推一个

嗯嗯 完全理解，不过可以翻译成中文吗

到双曲面就不行了 XD 前面好有趣

原来如此 可以用中文再说一次吗

先推就对了

总觉得有点理解又没有理解？？？

嗯嗯跟我想的一样 不过我是用中文的角度来看

如果球面上有一种线, 相对于平面上的直线拥有的各种性质, 都是完全有的, 那么当然是直线. 不过问题是没有这样的线. 如果球面上两点可以穿透球面而连线, 也好解. 不过要求是贴在球面上的线, 而贴在球面上的各种线都欠缺了平面上的直线或多或少的性质, 那么不论选哪种线, 都不会跟平面上的直线一模一样. 那么, 选出来的线究竟是不是直线? 这是一个哲学问题.

谢谢 跟我的想法一模一样