当在讨论有多少钱才能退休时， 4% rule 常被提及
不过， 4% rule 是基于 Trinity study
基于美国股债的历史回报率与30年的固定提领期间
所提出的一个 rule of thumb
如果你的预期提领期间，或对未来报酬率的预期，与 Trinity study 不同
有没有方法可以估计这个提领率呢?
Milevsky 基于随机分析(stochastic calculus)提出了一个计算提领率的近似公式:
μ:年化实质报酬率 σ:年化标准差 p:可接受的失败率 T:中位数余命
λ = ln(2)/T
α = (2μ+4λ)/(σ^2 + λ)-1
β = (σ^2 + λ)/2
提领率 1/W = GAMMA.INV(p, α, β)
取倒数则得财富倍数 W
GAMMA.INV 是 GAMMA函数的反函数，Excel有提供这个函式，不用自己算。
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带入一些数字作为实例:
μ = 6% (目前美国抗通膨债报酬率约 2%，Equity Risk Premium 假设为 4%)
σ = 17% (S&P500 年化标准差约 17%)
T = 30 (中位数余命假设为30年)
p = 10% (假设可接受 10% 失败率)
λ = ln(2)/30 = 0.0231
α = 3.08
β = 0.0260
提领率 GAMMA.INV( 10%, 3.08, 0.026) = 2.99%
财富倍数 W = 1/(2.99%) = 33.41
按此估计，中位数余命30年的一个退休者，如将1000万元全数投入股票
每年提领通膨调整后的 29.9万，约有 10% 机会在死前花光财产
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如果改用 50% 股票比重的 portfolio
令 μ = 4% ，σ = 8.5%，T = 30，p = 10%
提领率则可上升到 3.35%
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也可以反过来，根据提领率估计失败率
Excel公式是 GAMMA.DIST(1/W, α,β, TRUE)
以 4% 提领率来说，如果沿用以上50%股票比重的设定
失败率的估计是 GAMMA.DIST( 4%, 4.68, 0.0152, TRUE) = 16.47%
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Reference:
Milevsky, Moshe & Robinson, Chris. (2005). A Sustainable Spending Rate
without Simulation. Financial Analysts Journal - FINANC ANAL J. 61. 89-100.
10.2469/faj.v61.n6.2776.