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作者 / 林泽民
人生的旅途中，适合择偶的年龄是有限的。在这段期间，妳无须登【征婚启事】都可能陆
续遇到好几位适婚的对象。虽说女人二十一枝花，但太早结婚，难保白马王子在婚后才出
现，只能恨不相逢未嫁时；而太晚结婚，又怕使君已有妇，顾影徒叹陌上花开迟。假如妳
在同一时间只遇见一位适婚对象，而必须决定是否许诺终身，那么是否有一种策略能够让
妳有最大的机会“捡到”最佳的对象呢？
说“捡到”，是因为这个问题的数学结构，类似于在一条小径上散步捡石头：规定只能捡
一颗，不能丢弃再捡，也不能回头再捡。那么要如何才能捡到最大的石头呢？这个问题，
提供了与择偶问题相同的困境：捡得太早，怕前面还有更大的石头；太迟，怕已经错过了
最大的石头。面对这个困境，出手的时机便是一个重要的策略问题：如果预先设定一段观
察期，在此期间只观察而不出手，而在其后则当机立断见好就捡，那么观察期应该多久才
是最适宜呢？数学上，这是一个极大化的问题，解决的方法是将观察期设为未知数，用这
未知数来计算捡到最大颗石头的机率，也就是把得手机率作为观察期的函数，然后求出让
此函数有最大值的观察期。
假设小径为一条长度固定的线段，而石头的位置呈现统计上的均匀分配，数学家对这个问
题的解答是：在大约前1/3=0.33333的路段上，仔细观察石头的大小，但不要捡起任何石
头。过了这一段观察期，记住所看到最大颗石头的大小，继续前进。此后，一旦看见一颗
比观察期间最大石头还大的石头，要毫不犹豫地捡起。如此，则在路径的终点总结清算，
妳捡取到最大颗石头的机率为最大。 当然，妳运气不好的话，可能再也碰不到更大的石
头，因此只好在路径的尽头捡起最后一颗石头。这个策略只保证妳捡到最大石头的机率为
最大，它不能保证妳一定捡到最大的石头。
更精准的计算显示，如果路径甚长因而石头甚多，则最佳观察期为整条路段长度的
1/e=0.36788。这里e=2.71828…是所谓纳皮尔常数或尤拉数(Napier’s Constant or
Euler’s Number)。这机率比1/3还要略为大些。根据这个策略，捡到最大颗石头的机率
恰巧也趋近于1/e=0.36788。相对而言，当石头数目为n，随机捡取能捡到最大颗石头的机
率为1/n。 当n很大时，1/n趋近于零。这个策略能够达到1/e的得手机率是相当令人惊讶
的。
回到择偶的问题，假设男性的适婚年龄是25-40岁，有15年的择偶期，则最佳的择偶策略
是在30岁以前不要结婚，只注意观察25-30岁这五年间所遇见的可能对象；30岁以后，一
旦遇到更好的对象，不要犹豫，立刻结婚。女性的适婚年龄也许早些，算20-35岁的话，
则25岁前不要结婚，要等到25岁后再当机立断。依此策略，不论男女能够“捡到”最佳另
一伴的机率会比1/3稍大些。在这最佳择偶策略下，如果在观察期错过最佳对象，那也只
能说是没有缘份了。
数学家 Frederick Mosteller 在Fifty Challenging Problems in Probability一书中解
此题时，举了一个简单的例子。假设选择过程中共遇见四个对象，以 1/2/3/4 代表等第
，数目越大越佳，则依遇见的顺序，共有24种可能情况：
1432* 2431* 3421* 4321
1423* 2413* 3412* 4312
1342+ 2341+ 3241*+ 4231
1324+ 2314+ 3214*+ 4213
1243+ 2143*+ 3142*+ 4132
1234 2134 3124*+ 4123
如果妳随机选择，则捡到最佳对象的机率是1/4 或6/24。那么如果采用有一段观察期的策
略，得手机率又是如何呢？依观察期的长短，我们可以检视以下各种策略的良寙：
策略零：观察期=0/4，亦即第一次遇见对象便立刻结婚。得手机率=6/24。
策略一：观察期=1/4，亦即Pass第一个，此后一旦看到比第一个更大的则立即捡起，如未
看到，则捡最后一个。根据此策略，上列24种可能情况中，有11种(*标示者)可以捡到最
大的石头，所以得手机率=11/24。
策略二：观察期=2/4，亦即Pass前两个，此后一旦看到比前两个更大的则立即捡起，如未
看到，则捡最后一个。根据此策略，上列24种可能情况中，有10种(+标示者)可以捡到最
大的石头，所以得手机率=10/24。
策略三：观察期=3/4，亦即Pass前三个，捡起第四个。根据此策略，上列24种可能情况中
，6种可以捡到最大的石头，所以得手机率=6/24。
很明显的，策略一是最佳策略，因为其得手机率=11/24为最大。此策略的观察期(1/4)虽
然不到1/3或1/e，但已是所有可能值中最接近的了。11/24=0.45833的机率则比1/e还大。
当适婚期中遇见的对象越来越多，最佳的观察期会趋近于1/e，赢得佳偶的机率也会趋近
于1/e。假如妳估计会有n=10人来追求妳，Mosteller的公式显示妳应该跳过前三人，从第
四人开始，只要比前三人更好就立刻答应。如此，则捡到最佳郎君的机率将高达0.399，
已经很接近1/e了。
这个择偶最佳策略的解法假设妳没有梦寐中的完美对象，如果有，相信妳在作选择时会以
这个绝对标准来衡量。这种情况还是可以用数学算出最佳策略，但那必须要写另外一篇文
章了。
原刊载于Tse-min Lin 的部落格