先说结论，你的模型太粗糙~~~
太多有影响的细节都被省略。
所以，你推导的结果是没有多少意义的。
想要知道
到底是开整天省电
还是使用前再开省电
最简单的方法，"看电表"
把你想要比较的使用方式先确认好
然后记录下不同使用方式时，电表跑得圈数。
这样就会有结果了。
不用算个老半天，结果模型太粗糙，推论结果不能用。
要是无法随时看电表，那就维持电费帐单来比较。
※ 引述《a58524andy (就先这样吧)》之铭言：
: 尤其热水水箱不大那种啦
: 冬天来你只能开小水，不然热水马上就没了
: 租进来的时候还都会特别讲说
: “喔我们这个热水器你一直开着比较省电喔”
: 一直不懂这个宣称到底怎么算的
: 我的想法大概这样
: 热传递速度应该跟温差呈正相关
: 假设要维持热水固定在80度、20小时的总能量计为X焦耳
: 而这桶热水没有外界电能输入的情况，假设在20小时之后会是室温
这里设定有问题，你假设了不管如何只要没有额外加热，20个小时后水都会回到室温。
但事实上，并不一定如此。
你必须考虑到储水装置的隔热能力与水装了多少
: 这段时间散发的总热能为Y焦耳
: 那么我们可以知道两件事情
: 1. X > Y
: 散热过程中，前者都是保持跟室温有着大温差的
: 后者随着时间温差越来越小
: 而热传递速率应该正相关于温差
: 考虑相同时间(20小时)，可以明显看出这个结果
: 2. Y = (重新把水温加到80度的能量)
: 道理很简单嘛，我从5F掉到10F的能量等同我从10F爬到5F需要的能量
: 水的温度一样意思
: 综合以上两点，很明显可以看出如果要在20小时后有80度的热水的话
: 需要的总电能其实是一直开着会比较高
: 而热水器基本上是个效率100%的东西，没有所谓加热时效率比较差的问题
每个加热装置与其搭配的控温系统，其原理不近相同。
以及目前还没有能源转换效率100%的系统。
况且，你真正付的是"电能的钱"，不是"热能的钱"。
你该思考的是该用怎样的测试才能知道哪种使用方式会让你的电费单上数字比较低。
: 毕竟效率不到100%基本只有一个可能叫做废热
: 啊热水器来说热就是主要目的了齁
: 也就是房东根本在唬烂洨= =
: 以上，有没有小容量储热式根本出给房东赚电费的的卦