所以依照这样的推论,
+inf
sigma n^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... = 1/120
n=1
1^0 + 2^0 + 3^0 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = -1/2
1^5 + 2^5 + 3^5 + ... = -1/252
1^7 + 2^7 + 3^7 + ... = 1/240
但是
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 ... = +infinity.
真是违反一般直觉的有趣结论.
不过重点在于"解析延拓"(analytic continuation).
: ※ 引述《rfvtgbtgb (rfvtgbtgb)》之铭言：
: : 最近在书上看到一条公式
: : 1+2+3+4+........=-1/12
: : 有没有这条公式会成立的八卦??
: 这个很简单
: 本来Rieman zeta function 的series form
: +inf
: zeta(s)= sigma n^(-s)
: n=1
: 只在Re s > 1 的半平面上收敛
: 1859 年B. Riemann 把zeta(s) 解析延拓到整个复数平面上
: (除了s=1 有simple pole)
: 也就是说存在一个解析函数 他在整个平面上除掉s=1 这个点之外都有值
: 而且在Re s > 1 这个部分跟原来的zeta(s) 一样
: 一般来说 解析延拓若存在则唯一 (但不一定存在)
: 于是 虽然上面的级数在s=-1 代入得到1+2+3+4+5+..... 看似不收敛
: 但是我们还是可以给他一个值 那就是(做过解析延拓后的) zeta(-1) = -1/12
: BTW 如果你能证明在0 < Re s< 1 的区间里 (叫做critical strip)
: zeta 函数的零点都落在Re s = 1/2 这条线上
: <- 这是Riemann 在1859 年那篇paper 提出的猜想 叫做黎曼假说
: (Riemann hypothesis)
: 那么你就会得到一百万美金
: 目前已知起码有五十个以上的解析数论"定理"都assume 黎曼假说为真
: 因为有这件事真的很不错 但是没人能证明这件事为真
: 以上 相信对八卦版乡民而言 这些只比1+1=2 稍微难一点而已
: 谢谢指教~